Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 + 2 i \\ 4 + 0 i \\ 1 - 3 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 2 i |}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{20}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 + {| 4 + 0 i |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $0$ par $i$ .

$\sqrt{20 + {| 4 + 0 |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sqrt{20 + {| 4 |}^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.13

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\sqrt{20 + 4^{2} + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + {| 1 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.17

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{1 + 9}}^{2}}$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{20 + 16 + {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 2.19

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 16 + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.19.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{20 + 16 + 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.19.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{20 + 16 + 10^{1}}$

Étape 2.19.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{20 + 16 + 10}$

Étape 2.20

Additionnez $20$ et $16$ .

$\sqrt{36 + 10}$

Étape 2.21

Additionnez $36$ et $10$ .

$\sqrt{46}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{46}$

Forme décimale :

$6.78232998 \dots$